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Exercice 1 - Vrai/Faux [Signaler une erreur]
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
  1. Deux événements incompatibles sont indépendants.
  2. Deux événements indépendants sont incompatibles.
  3. Si P(A)+P(B)=1 P(A)+P(B)=1 , alors A=ˉB A=B¯ .
  4. Si A A et B B sont deux événements indépendants, alors P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)+P(B) .
  5. Soit (An)nN et M29 En LéGèReté Homme Confort AntidéRapant De LéGer R98303851 Toute 40 Chaussure D'éTé blanc Sport (Bp)pN deux systèmes complets d'événements. Alors (AnBp)(n,p)N2 est un système complet d'événement.
Espaces de probabilité
Exercice 2 - Tribu image réciproque [Signaler une erreur]
Soit E et F deux ensembles, T une tribu sur F et ϕ:EF une application. Montrer que T={ϕ1(A); AT} est une tribu sur E .
Exercice 3 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur]
Soit E un ensemble infini et (An)nN une partition de E . Pour toute partie J de N , on pose BJ=jJAj .
  1. Démontrer que T={BJ; JP(N)} est une tribu sur E et que c'est la plus petite tribu contenant tous les An.
  2. Trouver une partition (AnHomme LéGèReté LéGer R98303851 Confort Chaussure De 40 Sport D'éTé blanc AntidéRapant En M29 Toute )nN de sorte que, pour tout nN, An n'est pas fini.
  3. Trouver une tribu incluse dans P(N), de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Exercice 4 - Lancer infini [Signaler une erreur]
On lance une pièce une infinité de fois. Pour n1 , on note Ai l'événement ``le i-ème lancer amène pile''.
  1. Décrire par une phrase les événements suivants : B=+i=5Ai, C=+i=5Ai.
  2. Écrire à l'aide de Ai l'événement D=``On n'obtient plus que des piles à partir d'un certain lancer''.
Exercice 5 - Limites supérieures et inférieures d'ensembles [Signaler une erreur]
Soit Ω un ensemble. On appelle \emph{limite supérieure} des An , et on note lim supnAn l'ensemble des éléments de Ω qui appartiennent à une infinité de An . On appelle \emph{limite inférieure} des An , et on note lim infnAn , l'ensemble des éléments de Ω qui appartiennent à tous les An , sauf un nombre fini d'entre eux.
  1. Déterminer les ensembles lim supnAn et lim infnAn dans les cas suivants :
    1. An=],n];
    2. An=],n];
    3. A2n=A, A2n+1=B;
    4. An=],(1)n].
  2. Écrire les définitions de lim infnAn et lim supnAn avec les quantificateurs et . Les traduire en termes ensemblistes à l'aide de et .
Exercice 6 - Premier lemme de Borel-Cantelli [Signaler une erreur]
Soit (Ω,F,P) un espace probabilisé. Soit (An)n0 une suite d'événements. On note A=lim supnAn=n0knAk . On suppose que nP(An)<+ . Pour n1 , on note Dn=+k=nAk .
  1. Démontrer que limn+P(Dn)=0;
  2. En déduire que P(A)=0. Interpréter ce résultat.
Exercice 7 - Des lancers de dés [Signaler une erreur]
On lance un dé équilibré jusqu'à l'obtention d'un 6. Quelle est la probabilité que tous les nombres obtenus soient pairs?
Exercice 8 - Les footballeurs [Signaler une erreur]
Émile est un excellent footballeur. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à 2/3 . Paulin est un peu moins fort. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à 1/2 . Émile lance un défi à Paulin. Chacun va tirer un pénalty à son tour, en commençant par Paulin. Le premier qui marque a gagné. Quelle est la probabilité que Émile gagne?
Des joueurs A1,A2,,An, s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité 12 de gagner. La première manche oppose A1 et A2 et, à l'étape n , si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur An+1 . Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.
  1. Quelle est la probabilité que l'étape n ait lieu?
  2. En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
  3. Quelle est la probabilité que le joueur An gagne?
Exercice 10 - Tirer un nombre au hasard [Signaler une erreur]
On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir n vaut 1/2n . Pour kN , on note Ak l'événement " n est un multiple de k ".
  1. Vérifier que ceci définit une probabilité sur N.
  2. Calculer la probabilité de Ak pour kN.
  3. Calculer la probabilité de A2A3.
  4. Montrer que pour p,q2, alors Ap et Aq ne sont pas indépendants.
Probabilités conditionnelles et indépendance
Exercice 11 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur]
Soient A1,,An n événements d’un espace probabilisé (Ω,P) . On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives pi=P(Ai) . Donner une expression simple de P(A1An) en fonction de p1,,pn .
Application : on suppose qu'une personne est soumise à n expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité p d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident?
Exercice 12 - [Signaler une erreur]
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
  1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la n-ième lecture ?
  2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la n-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
Soit n>1 un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier x dans {1,,n} . Pour tout entier mn , on note Am l'événement " m divise x ". On note également B l'événement " x est premier avec n ". Enfin, on note p1,,pr les diviseurs premiers de n .
  1. Exprimer B en fonction des Apk.
  2. Pour tout entier naturel m qui divise n, calculer la probabilité de Am.
  3. Montrer que les événements Ap1,,Apr sont mutuellement indépendants.
  4. En déduire la probabilité de B.
  5. Application : on note ϕ(n) le nombre d'entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec n. Démontrer que ϕ(n)AntidéRapant blanc Toute De Chaussure Confort LéGèReté M29 Homme En Sport D'éTé LéGer R98303851 40 =nrk=1(11pk).
Soit (Ω,A,P) un espace probabilité et A un événement de probabilité non nulle. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que PA=P .
Une information est transmise à l'intérieur d'une population. Avec une probabilité p , c'est l'information correcte qui est transmise à chaque étape d'une personne à une autre. Avec une probabilité 1p , c'est l'information contraire qui est transmise. On note pn la probabilité que l'information après n transmissions soit correcte.
  1. Donner une relation de récurrence entre pn+1 et pn.
  2. En déduire la valeur de pn en fonction de p et de n.
  3. En déduire la valeur de limnpn. Qu'en pensez-vous?
Exercice 16 - Sauts de puce [Signaler une erreur]
Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse a ( a entier), sur un segment gradué de 0 à N (on suppose donc 0aN ). A chaque instant, elle fait un bond de +1 avec la probabilité p ( 0<p<1/2 ), ou un bond de 1 avec la probabilité q=1p . Autrement dit, si xn est l'abscisse de la particule à l'instant n , on a : xn+1={xn+1avec probabilité pxn1avec probabilité 1p.
Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s'il existe xn avec xn=0 ou xn=N ).
  1. Écrire un algorithme qui simule cette marche aléatoire. En particulier, cet algorithme prendra en entrée l'abscisse a de départ, la longueur N du segment, et produira en sortie un message indiquant si la marche s'arrête en 0 ou en N, et le nombre de pas nécessaires pour que le processus s'arrête. On supposera qu'on dispose d'une fonction alea() qui retourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1].
  2. On note ua la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s'arrête en 0.
    1. Que vaut u0? uN?
    2. Montrer que si 0<a<N, alors ua=pua+1+qua1.
    3. En déduire l'expression exacte de ua.
  3. On note va la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s'arrête en N. Reprendre les questions précédentes avec va au lieu de ua.
  4. Calculer ua+va. Qu'en déduisez-vous?
Exercice 17 - Marche aléatoire sur un triangle [Signaler une erreur]
  1. Question préliminaire : Soit M la matrice M=(13011213171213013).
    Démontrer que M est diagonalisable, et trouver P inversible et D diagonale telles que M=PDP1.
  2. On considère une particule se déplaçant à chaque seconde sur l'un des trois sommets A, B et C d'un triangle suivant le procédé suivant :
    • si la particule se trouve en B, elle y reste;
    • si la particule se trouve en A, elle se rend la seconde suivante sur l'un des trois sommets de façon équiprobable;
    • si la particule se trouve en C, à la seconde suivante, elle y reste une fois sur trois, sinon elle va en B sept fois plus souvent qu'en A.
    A la première seconde, la particule se pose de façon équiprobable sur un des trois sommets. Pour tout n1, on note An (resp. Bn, Cn) l'événement "à la n-ième seconde, la particule se trouve en A" (resp. B et C), et on note an, bn et cn les probabilités respectives de An, Bn et Cn.
    Que valent a1, b1 et c1?
  3. Donner une relation de récurrence entre an+1, bn+1, cn+1 et an, bn et cn.
  4. On note, pour n1, Xn le vecteur Xn=(anbncn). Vérifier que Xn+1=MXn.
  5. En déduire la valeur de an, bn et cn.
  6. Étudier la convergence des suites (an), (bn) et (cn).
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour la classe R1 , 50% pour la classe R2 , et 30% pour la classe R3 . Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
  1. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
  2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?
Exercice 19 - La forêt [Signaler une erreur]
Une forêt se compose de trois types d'arbres : 30% sont des chênes, 50% des peupliers, et 20% des hêtres. Suite à une tempête, une maladie se déclare et touche 10% des chênes, 4% des peupliers, et 25% des hêtres. Sachant qu'un arbre est malade, quelle est la probabilité que ce soit un chêne? un peuplier? un hêtre?
Coq Sportif Coq DEAUVILLE Coq Le Le Le DEAUVILLE Sportif Epw0Fq
Exercice 20 - Tests de dépistage [Signaler une erreur]
Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur 10000 . Un responsable d'un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à 99% . Si une personne n'est pas malade, le test est positif à 0,1% . Autorisez-vous la commercialisation de ce test?
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle est la probabilité pour qu'il soit un tricheur?

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Informations générales sur le produit
Nom du produit Chaussure De Sport LéGer Confort En Toute LéGèReté

Catégorie BASKET

Informations produit
Marque SOLLOMENSI

Couleur principale Blanc

Genre Homme

Couleur(s) Blanc

Dessus / Tige Textile